Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx+（a-2）x，a∈R
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），利用函数的单调性来求f（x）的最小值．
（2）求出函数的导数，分母为正，分子结合二次函数的性质，找出函数值为正值、负值的区间，得出函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=1时，f′（x）=$\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，
∴当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，x∈（2，+∞），f'（x）＞0，
∴f（x）在x=2时取得最小值，其最小值为 f（2）=-2ln2；
（2）∵f′（x）=x-$\frac{2a}{x}$+（a-2）=$\frac{（x-2）（x+a）}{x}$，
∴①a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；
②当-2＜a≤0时，
若x∈（0，-a），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
   x∈（-a，2），f′（x）＜0，f（x）为减函数，
  x∈（2，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
③当a=-2时，x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
④当a＜-2时，x∈（0，2），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
  x∈（2，-a），f′（x）＜0，f（x）为减函数，
  x∈（-a，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数．

点评 本题考查函数与导数，利用导数研究函数的单调性属于中档、常规题．涉及到了分类讨论的思想方法．