Question

3．某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

（1）画出散点图，并说明销售额y与广告费用支出x之间是正相关还是负相关？
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\hat y=bx+a$，$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}{y_i}）-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}，a=\overline y-\hat b\overline x$，求出回归直线方程．
（3）据此估计广告费用为10时，销售收入y的值．

Answer 1

分析 （1）在坐标系内把对应的点描出即得散点图，由图可得y与x之间是正相关；
（2）求出样本点中心$\overline{x}，\overline{y}$，利用回归系数公式求出a，b，得出回归方程；
（3）把x=10代入回归方程计算$\stackrel{∧}{y}$，即为销售收入y的估计值．

解答 解：（1）作出散点图如下图所示：

销售额y与广告费用支出x之间是正相关；
（2）$\overline x-\frac{1}{5}×（2+4+5+6+8）=5$，$\overline y=\frac{1}{5}×（30+40+60+50+70）=50$，
$\sum{{x_i}^2={2^2}+{4^2}+{5^2}}+{6^2}+{8^2}=145$，
$\sum{{y_i}^2}={30^2}+{40^2}+{60^2}+{50^2}+{70^2}=13500$，
$\sum{{x_i}{y_i}=1380}$，
∴$\widehatb=\frac{{\sum{{x_i}{y_i}-5\overline x\overline y}}}{{\sum{{x_i}^2-5{{\overline x}^2}}}}=\frac{1380-5×5×50}{{145-5×{5^2}}}=6.5$，$\widehata=\overline y-b\overline x=50-6.5×5=17.5$．
因此回归直线方程为$\widehaty=6.5x+17.5$；
（3）x=10时，$\stackrel{∧}{y}$=10×6.5+17.5=82.5．
∴广告费用为10时，销售收入y的估计值为82.5．

点评 本题考查了线性回归方程的求解及数值估计，属于基础题．