Question

已知函数f（x）=

1-x

mx

+lnx，m∈（0，+∞）
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求m的取值范围；
（2）当m=1时，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ） 求出f′(x)=

mx-1

mx2

，利用f（x）在[1，+∞）上是增函数，得到不等式，推出m≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立，即可求出m的范围．
（Ⅱ） 利用m=1通过f′(x)=

x-1

x2

，

1

2

≤x≤2判断函数的单调性，求出f（x）在[

1

2

，2]上有唯一极小值点，得到函数的最小值，求出函数的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ） 因为f′(x)=

mx-1

mx2

f（x）在[1，+∞）上是增函数
所以

mx-1

mx2

≥0在[1，+∞）上恒成立，…（3分）
因为m＞0，只需m≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立
所以m的取值范围是[1，+∞）…（6分）
（Ⅱ） 因为m=1所以f′(x)=

x-1

x2

，

1

2

≤x≤2
所以当

1

2

≤x＜1时，f'（x）＜0所以f（x）是减函数
当1≤x≤2时，f'（x）＞0所以f（x）是增函数…（9分）
所以当x=1时，f（x）在[

1

2

，2]上有唯一极小值点
所以y_min=0
又f(

1

2

)=1-ln2，f(2)=-

1

2

+ln2
因为f(

1

2

)＞f(2)
所以y_max=1-ln2…（12分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的恒成立，考查转化思想的应用．