Question

19．方程$\frac{x|x|}{16}+\frac{y|y|}{9}=-1$的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：
①f（x）在R上单调递减；
②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；
③y=f（|x|）的最大值为3；
④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则y=g（x）由方程$\frac{y|y|}{16}+\frac{x|x|}{9}=1$确定．
其中所有正确的命题序号是（　　）

• A． ③④
• B． ②③
• C． ①④
• D． ①②

Answer 1

分析 化简方程$\frac{x|x|}{16}+\frac{y|y|}{9}=-1$，从而作出函数y=f（x）的图象，
①由函数的图象判断函数的单调性；
②函数的零点可转化为方程的解，再转化为函数的图象的交点，从而判断零点；
③由函数的图象的变换可求其最值；
④由函数的图象的对称性可得方程为$\frac{y|y|}{16}+\frac{x|x|}{9}=1$，从而判断．

解答 解：①当x≥0且y≥0时，原方程化为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=-1，不成立；
当x＜0且y＜0时，原方程化为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
当x≥0且y＜0时，原方程化为$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=-1；
当x＜0且y≥0时，原方程化为-$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=-1；
作出函数的图象如下，

故①正确；
②由F（x）=4f（x）+3x=0得，f（x）=-$\frac{3}{4}$x；
由上图知方程无解，故②正确；
③根据①所作的图象可知，函数y=f（|x|）的最大值为-3，故错误；
④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则用-x，-y分别代替x，y；
可得g（x）=-f（-x），则函数y=g（x）的图象是方程$\frac{x|x|}{16}+\frac{y|y|}{9}$=1确定的曲线，故不正确．
故选：D．

点评 本题考查了圆锥曲线的方程与其图象，同时考查了函数的图象及其变换，还考查了函数的图象与性质的应用，属于难题．