Question

11．已知等差数列{a_n}的公差d∈（0，1），且$\frac{{{{sin}^2}{a_3}-{{sin}^2}{a_7}}}{{sin（{a_3}+{a_7}）}}$=-1，若a₁∈（-$\frac{5π}{4}$，-$\frac{9π}{8}$）时，则数列{a_n}的前n项和为S_n取得最小值时n的值为10．

Answer 1

分析 利用三角函数的降幂公式化简$\frac{{{{sin}^2}{a_3}-{{sin}^2}{a_7}}}{{sin（{a_3}+{a_7}）}}$=-1，得出$\frac{cos{2a}_{7}-cos{2a}_{3}}{2}$=-sin（a₃+a₇），再利用和差化积公式得出sin（a₇-a₃）=1，求出公差d的值，写出通项公式a_n，令a_n≤0，即可求得n的值．

解答 解：∵{a_n}为等差数列，且$\frac{{{{sin}^2}{a_3}-{{sin}^2}{a_7}}}{{sin（{a_3}+{a_7}）}}$=-1，
∴$\frac{\frac{1-cos{2a}_{3}}{2}-\frac{1-cos{2a}_{7}}{2}}{sin{（a}_{3}{+a}_{7}）}$=-1，
∴$\frac{cos{2a}_{7}-cos{2a}_{3}}{2}$=-sin（a₃+a₇），
由和差化积公式得：$\frac{1}{2}$×（-2）sin（a₇+a₃）•sin（a₇-a₃）=-sin（a₃+a₇），
又sin（a₃+a₇）≠0，
∴sin（a₇-a₃）=1，
∴4d=2kπ+$\frac{π}{2}$∈（0，4）；
取k=0，得4d=$\frac{π}{2}$，解得d=$\frac{π}{8}$；
又∵a₁∈（-$\frac{5π}{4}$，-$\frac{9π}{8}$），∴a_n=a₁+$\frac{π}{8}$（n-1），
∴a_n∈（-$\frac{11π}{8}$+$\frac{nπ}{8}$，-$\frac{10π}{8}$+$\frac{nπ}{8}$）；
令a_n≤0，得-$\frac{10π}{8}$+$\frac{nπ}{8}$≤0，
解得n≤10；
∴n=10时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最小值．
故答案为：10．

点评 本题考查了数列与三角函数的综合应用问题，利用三角函数的降幂公式与和差化积公式求得sin（a₇-a₃）=1是关键，也是难点，是综合性题目．