Question

3．求函数y=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}-3x+2}}$的值域．

Answer 1

分析 先确定x的范围，可得$\frac{1}{x}$的范围，由此利用二次函数的性质求得$\frac{1}{y}$的值域，从而求得y的值域．

解答 解：∵函数y=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}-3x+2}}$，∴x²-3x+2＞0，求得x＜1，或x＞2．
①当0＜x＜1时，$\frac{1}{x}$∈（1，+∞），$\frac{1}{y}$=$\sqrt{{2（\frac{1}{x}）}^{2}-3•\frac{1}{x}+1}$=$\sqrt{2{•（\frac{1}{x}-\frac{3}{4}）}^{2}-\frac{1}{8}}$．
∴$\frac{1}{y}$∈（0，+∞）．
②当x=0时，y=0，$\frac{1}{y}$不存在．
③当x＜0时，$\frac{1}{x}$＜0，$\frac{1}{y}$=-$\sqrt{{2（\frac{1}{x}）}^{2}-3•\frac{1}{x}+1}$=-$\sqrt{2{•（\frac{1}{x}-\frac{3}{4}）}^{2}-\frac{1}{8}}$＜-1，
④当x＞2时，$\frac{1}{x}$∈（0，$\frac{1}{2}$），$\frac{1}{y}$=$\sqrt{{2（\frac{1}{x}）}^{2}-3•\frac{1}{x}+1}$=$\sqrt{2{•（\frac{1}{x}-\frac{3}{4}）}^{2}-\frac{1}{8}}$，
∴$\frac{1}{y}$∈（0，1）．
综上可得，$\frac{1}{y}$＞0，或$\frac{1}{y}$＜-1，或$\frac{1}{y}$∈（0，1），或$\frac{1}{y}$不存在．
∴y＞0，或-1＜y＜0，或y＞1，或y=0，
故y的值域为（-1，0）∪[0，+∞）=（-1，+∞）．

点评 本题主要考查二次函数的性质，求函数的值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．