Question

13．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=$2\sqrt{2}$．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求点C到平面PBD的距离．
（3）求二面角P-CD-B余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥BD，AC⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面PBD的距离．
（3）求出平面PCD的法向量和平面BCD的法向量，利用向量法能求出二面角P-CD-B余弦值的大小．

解答 证明：（1）∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，
PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=$2\sqrt{2}$，
∴PA⊥BD，AD=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=2，
∴底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，
AP为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
C（2，2，0），
$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），
设平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
∴点C到平面PBD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（3）设平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=2a+2b-2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=2b-2c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
平面BCD的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，0，1），
设二面角P-CD-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴二面角P-CD-B余弦值的大小为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．