Question

2．设数列{a_n}，{b_n}分别为等差数列和等比数列．若a₁b₁=1，a₂b₂=1，则a₃b₃的取值范围是（-∞，0）∪（0，1]．

Answer 1

分析 分别设{a_n}公差为d，{b_n}公比为q，通过整体运算把a₃b₃转化为q的函数得答案．

解答 解：设{a_n}公差为d，{b_n}公比为q，
由a₁b₁=1，a₂b₂=1，得a₂b₂=（a₁+d）（b₁q）=a₁b₁q+b₁dq=q+b₁dq=1，
∴b₁dq=1-q，
${a}_{3}{b}_{3}=（{a}_{1}+2d）（{b}_{1}{q}^{2}）$
=${a}_{1}{b}_{1}{q}^{2}+2d{b}_{1}{q}^{2}$=${q}^{2}+2d{b}_{1}{q}^{2}$
=${q}^{2}+2（d{b}_{1}q）•q={q}^{2}+2q（1-q）={q}^{2}+2q-2{q}^{2}$=-q²+2q=-（q-1）²+1≤1．
而q≠0，∴a₃b₃≠0，
∴a₃b₃∈（-∞，0）∪（0，1]．
故答案为：（-∞，0）∪（0，1]．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查数学转化思想方法，是中档题．