Question

10．函数f（x）=lnx-ax²+x有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （-∞，1）
• C． （-∞，$\frac{1+e}{{e}^{2}}$）
• D． （0，$\frac{1+e}{{e}^{2}}$）

Answer 1

分析 函数f（x）=lnx-ax²+x有两个不同的零点，转化为函数g（x）=lnx和h（x）=ax²-x交点的问题；
讨论a≤0时不满足题意，a＞0时，求得（a）max=1，当x→+∞时，a→0，从而可得答案．
或a＞0时，作出两函数g（x）=lnx，h（x）=ax²-x的图象，由$\frac{1}{a}$＞1求出a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=lnx-ax²+x有两个不同的零点，
不妨令g（x）=lnx，h（x）=ax²-x，
将零点问题转化为两个函数交点的问题；
又函数h（x）=x（ax-1），
当a≤0时，g（x）和h（x）只有一个交点，不满足题意；
当a＞0时，由lnx-ax²+x=0，得a=$\frac{x+lnx}{{x}^{2}}$；
令r（x）=$\frac{x+lnx}{{x}^{2}}$，则r′（x）=$\frac{（1+\frac{1}{x}）{•x}^{2}-（lnx+x）•2x}{{x}^{4}}$=$\frac{1-x-2lnx}{{x}^{3}}$，
当0＜x＜1时，r'（x）＞0，r（x）是单调增函数，
当x＞1时，r'（x）＜0，r（x）是单调减函数，且$\frac{x+lnx}{{x}^{2}}$＞0，∴0＜a＜1；
或当a＞0时，作出两函数g（x）=lnx，h（x）=ax²-x的图象，如图所示；
g（x）=lnx交x轴于点（1，0），
h（x）=ax²-x交x轴于点（0，0）和点（$\frac{1}{a}$，0）；
要使方程有两个零点，应满足两函数有两个交点，
即$\frac{1}{a}$＞1，解得0＜a＜1；
∴a的取值范围是（0，1）．
故选：A．

点评 本题考查了函数零点的判断问题，也考查了分类讨论思想与转化思想的应用问题，是难题．