Question

已知函数f（x）=x²+xsinx+cosx，设f′（x）表示f（x）的导函数．
（1）求f′（

π

2

）的值；
（2）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；
（3）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数的运算

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，令x=

π

2

，即可得到；
（2）由题意可得f′（a）=0，f（a）=b，联立解出即可；
（3）利用导数得出其单调性与极值即最值，得到值域即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=x²+xsinx+cosx，
则f′（x）=2x+sinx+xcosx-sinx=2x+xcosx，
则f′（

π

2

）=2×

π

2

+

π

2

cos

π

2

=π；
（2）由于曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，
则f′（a）=0，即有2a+acosa=0，解得，a=0，
则切点为（0，1），则b=1，
即有a=0，b=1；
（3）由于f′（x）=x（2+cosx）．
于是当x＞0时，f′（x）＞0，故f（x）单调递增．
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
则当x=0时，f（x）取得最小值f（0）=1，
故当b＞1时，曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点．
故b的取值范围是（1，+∞）．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值及其几何意义是解题的关键．