Question

19．在△ABC中，
（1）求证：cos²$\frac{A+B}{2}$+cos²$\frac{C}{2}$=1；
（2）若cos（$\frac{π}{2}$+A）sin（$\frac{3}{2}$π+B）tan（C-π）＜0，求证：△ABC为钝角三角形．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的内角和定理与三角函数的诱导公式以及同角的三角函数关系式，即可证明结论成立；
（2）利用三角函数的诱导公式先化简，再根据角的取值范围与三角函数值的符号，即可证明．

解答 解：（1）证明：△ABC中，A+B=π-C，
∴$\frac{A+B}{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$，
∴cos$\frac{A+B}{2}$=cos（$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$）=sin$\frac{C}{2}$
∴cos²$\frac{A+B}{2}$+cos²$\frac{C}{2}$=sin²$\frac{C}{2}$+cos²$\frac{C}{2}$=1；
（2）证明：△ABC中，cos（$\frac{π}{2}$+A）sin（$\frac{3}{2}$π+B）tan（C-π）＜0，
∴-sinA•（-cosB）•tanC＜0，
即sinAcosBtanC＜0；
又A、B、C∈（0，π），
∴sinA＞0，
∴cosBtanC＜0，
即cosB＜0或tanC＜0，
∴B为钝角或C为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．

点评 本题考查了三角形的内角和定理与三角函数的诱导公式以及同角的三角函数关系式的应用问题，是基础题．