Question

8．对于命题p：?x₀∈R，使${sin^2}{x_0}+\frac{4}{{{{sin}^2}{x_0}}}$最小值为4；命题q：?x∈R，都有x²+x+1＞0，给出下列结论正确的是（　　）

• A． 命题“p∧q”是真命题
• B． 命题“￢p∧q”是真命题
• C． 命题“p∧￢q”是真命题
• D． 命题“￢p∨￢q”是假命题

Answer 1

分析 令t=sin²x₀，结合对勾函数的图象和性质，可判断命题p；根据二次函数的图象和性质，可判断命题q，进而结合复命题真假判断的真值表，可得答案．

解答 解：令t=sin²x₀，则t∈[0，1]，${sin^2}{x_0}+\frac{4}{{{{sin}^2}{x_0}}}$=t+$\frac{4}{t}$，
∵y=t+$\frac{4}{t}$在（0，1]上为减函数，
故当t=1时，t+$\frac{4}{t}$取最小值5，
故命题p：?x₀∈R，使${sin^2}{x_0}+\frac{4}{{{{sin}^2}{x_0}}}$最小值为4为假命题；
∵y=x²+x+1的图象是开口朝上，且与x轴无交点的抛物线，
故命题q：?x∈R，都有x²+x+1＞0为真命题；
故命题“p∧q”是假命题；
命题“￢p∧q”是真命题；
命题“p∧￢q”是假命题；
命题“￢p∨￢q”是真命题；
故选：B．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了对勾函数的图象和性质，恒成立问题等知识点，难度中档．