题目内容

设 $数学公式$ ，求其反函数f^-1（x），又若g（x）=x+2，求f^-1{g[f（x）]}．

解：当x≥0时，令y=x²+1≥1，解得x= $\text{[math]}$ ，交换x，y的位置，得y= $\text{[math]}$ ，
同理求出x＜0时令y=x+1＜1解得其反函数的解析式
为 y=x-1，
即 f^-1（x）= $\text{[math]}$ ，
又若g（x）=x+2，
故g[f（x）]= $\text{[math]}$ ，
f^-1{g[f（x）]}= $\text{[math]}$ ．
分析：由于函数 $\text{[math]}$ 是一分段函数，故其反函数应分段来求，再代入f^-1{g[f（x）]}化简得解析式．
点评：本题考点是反函数，综合考查了反函数的求法，以及复合型的分段函数的求解方法，本题是一个易错题，尤其是在最后一问求f^-1{g[f（x）]}的解析式，要根据外层函数的定义域对内层函数的定义域进行分类．