Question

13．已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1-{{a}_{n}}^2}$
（1）证明数列{$\frac{1}{{b}_{n}-1}$}是等差数列   
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）若b_n＞k对任意的n∈N^*恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a_n+b_n=1，可得b_n=1-a_n，b₁=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．代入可得b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{（1-{a}_{n}）（1+{a}_{n}）}$=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$，证明$\frac{1}{{b}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{b}_{n}-1}$为一个常数即可．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{b}_{n}-1}$=-n-3，解得b_n．
（3）由（2）可得：b_n=1-$\frac{1}{n+3}$单调递增，可得b_n≥b₁=$\frac{3}{4}$．即可得出k的取值范围．

解答 解：（1）∵a_n+b_n=1，∴b_n=1-a_n，b₁=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{（1-{a}_{n}）（1+{a}_{n}）}$=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n}（2-{b}_{n}）}$=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{b}_{n}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{2-{b}_{n}}-1}$-$\frac{1}{{b}_{n}-1}$=$\frac{2-{b}_{n}-1}{{b}_{n}-1}$=-1，
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}-1}$}是等差数列，首项为-4，公差为-1．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{b}_{n}-1}$=-4-（n-1）=-n-3，
解得b_n=1-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{n+2}{n+3}$．
（3）由（2）可得：b_n=1-$\frac{1}{n+3}$单调递增，∴b_n≥b₁=$\frac{3}{4}$．
∵b_n＞k对任意的n∈N^*恒成立，
∴k＜$\frac{3}{4}$．
∴k的取值范围是$（-∞，\frac{3}{4}）$．

点评 本题考查了数列的递推关系、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．