Question

12．已知双曲线C的中点在原点O，焦点$F（{-2\sqrt{5}，0}）$，点A为左支上一点，满足|OA|=|OF|且|AF|=4，则双曲线C的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{16}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$
• D． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1$

Answer 1

分析 设A（m，n），（m＜0，n＞0），双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），运用双曲线的a，b，c的关系和等腰三角形的面积公式，由等积法可得m，n，代入双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的方程．

解答 解：设A（m，n），（m＜0，n＞0），
双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由题意可得c=2$\sqrt{5}$，a²+b²=20，①
在等腰三角形OAF中，
S_△OAF=$\frac{1}{2}$|OF|•n=$\sqrt{5}$n，
又AF边上的高为h=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=4，
可得S_△OAF=$\frac{1}{2}$h•|AF|=2h=8，
解得n=$\frac{8}{\sqrt{5}}$，
由勾股定理可得m²+n²=20，
解得m=-$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
即P（-$\frac{6}{\sqrt{5}}$，$\frac{8}{\sqrt{5}}$），
代入双曲线的方程可得$\frac{36}{5{a}^{2}}$-$\frac{64}{5{b}^{2}}$=1②
由①②解得a=2，b=4，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，以及平面几何中三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．