Question

20．甲乙丙三人在进行一项投掷骰子游戏中规定：若掷出1点，甲得1分，若掷出2点或3点，乙得1分；若掷出4点或5点或6点，丙得1分，前后共掷3次，设x，y，z分别表示甲、乙、丙三人的得分．
（1）求x=0，y=1，z=2的概率；
（2）记ξ=x+z，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设事件A表示“投掷一次骰子甲得一分”，事件B表示“投掷一次骰子乙得一分”，事件C表示“投掷一次骰子丙得一分”，由已知得P（A）=$\frac{1}{6}$，P（B）=$\frac{1}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$，从而能求出x=0，y=1，z=2的概率．
（2）X=0，1，2，3； Y=0，1，2，3； Z=0，1，2，3．但是只得3次分，因而必须满足X+Y+Z=3，随机变量ξ的样本空间为{0，1，2，3}，事实上ξ=3-Y，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设事件A表示“投掷一次骰子甲得一分”，事件B表示“投掷一次骰子乙得一分”，事件C表示“投掷一次骰子丙得一分”，
则P（A）=$\frac{1}{6}$，P（B）=$\frac{1}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$，
∴x=0，y=1，z=2的概率p=（$\frac{5}{6}$）³C${\;}_{3}^{1}$（$\frac{1}{3}$）（$\frac{2}{3}$）²${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$=$\frac{125}{1296}$．
（2）X=0，1，2，3； Y=0，1，2，3； Z=0，1，2，3．
但是只得3次分，因而必须满足X+Y+Z=3，随机变量ξ的样本空间为{0，1，2，3}
事实上ξ=3-Y，
∴P（ξ=0）=P（Y=3）=（$\frac{1}{3}$）³=$\frac{1}{27}$，
P（ξ=1）=P（Y=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=2）=P（Y=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$，
P（ξ=3）=P（Y=0）=（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{8}{27}$，
∴ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{27}+1×\frac{2}{9}+2×\frac{4}{9}+3×\frac{8}{27}$=2．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．