Question

16．已知函数f（x）=$\frac{ax+1}{e^x}$，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线斜率为-2，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无极值，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导函数令x的值为0代入其中得到f'（0）=-2即切线方程的斜率为-2，即可求出a的值，再利用导数和函数的最值的关系即可求出最小值，
（Ⅱ）求出函数的导函数，f（x）在区间（0，1）上无极值，则函数f（x）在（0，1）单调，分类讨论，求出函数的单调性即可求出a的取值范围

解答 解：（Ⅰ）因为$f（x）=\frac{ax+1}{e^x}$，所以$f'（x）=\frac{-ax+a-1}{e^x}$．
依题意，f′（0）=-2，解得a=-1．
所以$f（x）=\frac{-x+1}{e^x}$，$f'（x）=\frac{x-2}{e^x}$．
当x＞2时，f'（x）＞0，函数f（x）为增函数；
当x＜2时，f'（x）＜0，函数f（x）为减函数；
所以函数f（x）的最小值是$f（2）=-\frac{1}{e^2}$．
（Ⅱ）因为$f（x）=\frac{ax+1}{e^x}$，所以$f'（x）=\frac{-ax+a-1}{e^x}$．
（1）若a=0，则$f'（x）=-\frac{1}{e^x}＜0$．此时f（x）在（0，1）上单调递减，满足条件．
（2）若a≠0，令f'（x）=0得$x=\frac{a-1}{a}=1-\frac{1}{a}$．
（ⅰ）若$1-\frac{1}{a}≤0$，即0＜a≤1，则f'（x）＜0在（0，1）上恒成立．
此时f（x）在（0，1）上单调递减，满足条件．
（ⅱ）若$0＜1-\frac{1}{a}＜1$，即a＞1时，由f'（x）＞0得$0＜x＜1-\frac{1}{a}$；
由f'（x）＜0得$1-\frac{1}{a}＜x＜1$．
此时f（x）在$（0，1-\frac{1}{a}）$上为增函数，在$（1-\frac{1}{a}，1）$上为减，不满足条件．
（ⅲ）若$1-\frac{1}{a}≥1$即a＜0．则f'（x）＜0在（0，1）上恒成立．
此时f（x）在（0，1）上单调递减，满足条件．
综上，a≤1．

点评 考查学生利用导数求函数在闭区间上的最值的能力，以及导数和函数的单调性的关系，考查了分类讨论的能力，属于中档题