Question

设函数f（x）=lnx-x²+ax．
（1）若函数f（x）在（0，1]上单调递增，试求a的取值范围；
（2）设函数f（x）在点C（x₀，f（x₀））（x₀为非零常数）处的切线为l，证明：函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用函数单调性和导数之间的关系，即可求实数a的取值范围；
（2）利用导数的几何意义，求出函数的切线，利用函数的最值和导数之间的关系，即可的得到结论．

解答： 解：（1）f′（x）=-

2x2-ax-1

x

，
要使f（x）在（0，1]上单调递增，f'（x）在（0，e）内必有零点且在零点左右异号，
即h（x）=2x²-ax-1在（0，e）内有零点且在零点左右异号．   
因为△=a²+8＞0，
所以方程2x²-ax-1=0有两个不等的实数根x₁，x₂，由于x₁x₂=-

1

2

＜0，
不妨设x₁＜0，x₂＞0，所以x₁＜0，x₂∈（0，e），
由h（x）图象可知：h（0）h（e）＜0，
即2e²-ae-1＞0，解得 a＜2e-

1

e

．
（2）因为f′（x₀）=

1

x0

-2x₀+a，
又切点C（x₀，lnx₀-x02+ax₀），所以切线l的方程为y-（lnx₀-x02+ax₀）=（

1

x0

-2x₀+a）（x-x₀），
即y=（

1

x0

-2x₀+a）x-1+x02+ln?x₀，（x₀为常数）．
令g（x）=f（x）-[（

1

x0

-2x₀+a）x-1+x02+ln?x₀]，
则g（x）=ln?x-x2-[（

1

x0

-2x₀）x-1+x02+ln?x₀]，
则g′（x）=

1

x

-2x-（

1

x0

-2x₀）=-（x-x₀）（

2xx0+1

xx0

）=-

2(x-x0)(x+ 1 2x0 )

x

，
因为x₀＞0，x，g′（x），g（x）的关系如下表：

x	（0，x0）	x0	（x0，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘

因为g（x）≤g（x₀）=0，所以函数f（x）图象上不存在位于直线l上方的点．

点评：本题主要考查函数单调性与导数之间的关系，以及导数的几何意义，综合性较强，运算量较大．