Question

14．已知数列{a_n}的前n项和S_n=1+λa_n，其中λ≠0．
（1）证明{a_n}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若S₅=$\frac{31}{32}$，求λ．

Answer 1

分析 （1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．
（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．

解答 解：（1）∵S_n=1+λa_n，λ≠0．
∴a_n≠0．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=1+λa_n-1-λa_n-1=λa_n-λa_n-1，
即（λ-1）a_n=λa_n-1，
∵λ≠0，a_n≠0．∴λ-1≠0．即λ≠1，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{λ}{λ-1}$，（n≥2），
∴{a_n}是等比数列，公比q=$\frac{λ}{λ-1}$，
当n=1时，S₁=1+λa₁=a₁，
即a₁=$\frac{1}{1-λ}$，
∴a_n=$\frac{1}{1-λ}$•（$\frac{λ}{λ-1}$）^n-1．
（2）若S₅=$\frac{31}{32}$，
则若S₅=1+λ[$\frac{1}{1-λ}$•（$\frac{λ}{λ-1}$）⁴]=$\frac{31}{32}$，
即（$\frac{λ}{1-λ}$）⁵=$\frac{31}{32}$-1=-$\frac{1}{32}$，
则$\frac{λ}{1-λ}$=-$\frac{1}{2}$，得λ=-1．

点评 本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a_n=S_n-S_n-1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．