题目内容
在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个子数列中，由1开始的第15个数是 ，第2014个数是 ．
考点：归纳推理
专题：规律型,等差数列与等比数列
分析：本题是归纳推理，要从中找出数字递增的规律，第n组有连续个奇数和偶数构造，其中奇偶性根n的奇偶性相同，然后利用该规律解题．
解答：
解：记该数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…为{an}，
由1开始依次按如下规则取它的项：
第一次取1，
第二次取2个连续偶数2、4；
第三次取3个连续奇数5、7、9；
第四次取4个连续偶数10、12、14、16；
第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25，…
可知：第一组的最后一个数依次为：1，4，9，16，25，…
归纳得到，每一组的最后一个数依次为：12，22，32，42，…，n2，…
即第n个组最后一个数为n2．
利用1+2+3+…+n=29或1+2+3+…+n≈29，n∈N*
得到：1+2+3+4+5+6+7+1=29
∴a1，a2，a3，a4，…a29按上述分组共有8组，a29是第8组的第一个数．
∵第七组最后一个数为72=49，
由组间的差为1，得：a29=49+1=50．
由于1+2+3+…+61+62+61=2014，
所以a2014位于第63组，倒数第三个，
因为第63组最后一个数为632=3969，
由组内的差为2，得：a2014=3969-4=3965．
故答案为：25，3965．
由1开始依次按如下规则取它的项：
第一次取1，
第二次取2个连续偶数2、4；
第三次取3个连续奇数5、7、9；
第四次取4个连续偶数10、12、14、16；
第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25，…
可知：第一组的最后一个数依次为：1，4，9，16，25，…
归纳得到，每一组的最后一个数依次为：12，22，32，42，…，n2，…
即第n个组最后一个数为n2．
利用1+2+3+…+n=29或1+2+3+…+n≈29，n∈N*
得到：1+2+3+4+5+6+7+1=29
∴a1，a2，a3，a4，…a29按上述分组共有8组，a29是第8组的第一个数．
∵第七组最后一个数为72=49，
由组间的差为1，得：a29=49+1=50．
由于1+2+3+…+61+62+61=2014，
所以a2014位于第63组，倒数第三个，
因为第63组最后一个数为632=3969，
由组内的差为2，得：a2014=3969-4=3965．
故答案为：25，3965．
点评：本题考查的是归纳推理，难点是发现规律（每个组的最后一个数是完全平方数），难度较大．本题还可以分组，利用组内的差为2，组间的差为1，根据所求的数的位置，统计两种差的次数，类比等差数列，求出该数的值．
练习册系列答案
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