Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M上的任意一点到原点O的距离与到A（3，-6）的距离之比为$\frac{1}{2}$，点P（1，-2）．
（1）求曲线M的方程；
（2）过点P作两条相异直线分别与曲线M相交于B，C，且直线PB和直线PC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．

Answer 1

分析 （1）利用直接法，建立方程，即可求曲线C的方程．
（2）直线与圆的方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线BC的斜率为定值．

解答 解：（1）设曲线M上任意一点为Q（x，y），由题意得$\frac{{|{OQ}|}}{{|{AQ}|}}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{{（{x-3}）}^2}+{{（{y+6}）}^2}}}}=\frac{1}{2}⇒{（{x+1}）^2}+{（{y-2}）^2}=20$，此即为曲线M的方程．
（2）由题意知，直线PB和直线PC的斜率存在，且互为相反数，故可设直线PB的方程为：y+2=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}y+2=k（{x-1}）\\{（{x+1}）^2}+{（{y+2}）^2}=20\end{array}\right.⇒（{1+{k^2}}）{x^2}+2（{1-{k^2}-4k}）x+{k^2}+8k-3=0$，
因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得${x_B}=\frac{{{k^2}+8k-3}}{{1+{k^2}}}$，同理${x_C}=\frac{{{k^2}-8k-3}}{{1+{k^2}}}$（以-k为k），
所以${k_{BC}}=\frac{{{y_C}-{y_B}}}{{{x_C}-{x_B}}}=\frac{{-k（{{x_C}-1}）-k（{{x_B}-1}）}}{{{x_C}-{x_B}}}=\frac{{2k-k（{{x_C}+{x_B}}）}}{{{x_C}-{x_B}}}=-\frac{1}{2}$．
故直线BC的斜率为定值$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线的斜率为定值的证明，考查学生的计算能力，是中档题．