Question

13．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值．
（Ⅱ）设g（x）=$\frac{x+f（x）}{x{e}^{2x}}$，h（x）=（2x²+x）g′（x），求证：?x∈（0，+∞），h（x）＜$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求得函数的最小值；
（Ⅱ）利用导数研究函数h（x）在（0，+∞）上的最大值，就能证得结果．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{e}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞），
∴f（x）_极小值=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：g（x）=$\frac{x+f（x）}{x{e}^{2x}}$=$\frac{x+xlnx}{{xe}^{2x}}$=$\frac{1+lnx}{{e}^{2x}}$，
∴g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-2lnx-2}{{e}^{2x}}$，
∴h（x）=（2x²+x）g′（x）
=（2x²+x）g′（x）
=（2x²+x）•$\frac{\frac{1}{x}-2lnx-2}{{e}^{2x}}$
=$\frac{（2x+1）（1-2x-2xlnx）}{{e}^{2x}}$，
令p（x）=1-2x-2xlnx
p′（x）=-2-2lnx-2x×$\frac{1}{x}$=-4-2lnx
当x∈（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）时，p′（x）＞0，函数递增；当x∈（$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）时，p′（x）＜0，函数递减．
故x=$\frac{1}{{e}^{2}}$时，函数取到极大值，也是函数的最大值．
即p（x）max=p（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=1+$\frac{2}{{e}^{2}}$，且1+$\frac{2}{{e}^{2}}$＜$\frac{4}{3}$，同理可求得 $\frac{2x+1}{{e}^{2x}}$＜1
故h（x）＜$\frac{2x+1}{{e}^{2x}}$×$\frac{4}{3}$＜$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了函数解析式的求法、利用导数研究函数的最值；解题中要熟悉复杂函数的求导；对运算的要求比较高．