Question

4．已知椭圆：C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过C₁的左焦点F₁的直线l：x-y+2=0被圆C₂：（x-3）²+（y-3）²=r²（r＞0）截得的弦长为2$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设C₁的右焦点为F₂，在圆C₂上是否存在点P，满足|PF1|=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$|PF₂|，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 第（1）问，由a²=b²+c²，e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，及F₁的坐标满足直线l的方程，联立此三个方程，即得a²，b²，从而得椭圆方程；
第（2）问，根据弦长，利用垂径定理与勾股定理得方程，可求得圆的半径r，从而确定圆的方程，再由条件|PF₁|=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$|PF₂|，将点P满足的关系式列出，通过此关系式与已知圆C₂的方程联系，再探求点P的存在性．

解答 解：在直线l的方程x-y+2=0中，令y=0，得x=-2，即得F₁（-2，0），
∴c=2，又∵离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴a²=6，b²=a²-c²=2，
∴椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）∵圆心C₂（3，3）到直线l：x-y+2=0的距离为d=$\frac{|3-3+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
又直线l被圆C₂截得的弦长为2$\sqrt{2}$，
∴由垂径定理得r=$\sqrt{{d}^{2}+（\frac{l}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+2}$=2，
故圆C₂的方程为C₂：（x-3）²+（y-3）²=4．
设圆C₂上存在点P（x，y），满足|PF₁|=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$|PF₂|，即|PF₁|=3|PF₂|．
∵F₁（-2，0），F₂（2，0），
则$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=3$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，整理得（x-$\frac{5}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$
此方程表示圆心在点（$\frac{5}{2}$，0），半径$\frac{3}{2}$是的圆，
∴|CC₂|=$\sqrt{（3-\frac{5}{2}）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{37}}{2}$，
故有2-$\frac{3}{2}$＜|CC₂|＜2+$\frac{3}{2}$，即两圆相交，有两个公共点．
∴圆C₂上存在两个不同点P，满足|PF₁|=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$|PF₂|，

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与圆的位置关系，以及圆与圆的位置关系，弦长计算，属于中档题