Question

20．设函数f（x）=|x-1|-|x-2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞2x的解集；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＞t²-t+1成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对x讨论，由绝对值的含义可得f（x）的解析式，再由x≤1，1＜x＜2，x≥2，可得不等式组，分别解出它们，再求并集即可得到所求解集；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＞t²-t+1成立，即有f（x）_max＞t²-t+1，求得f（x）的最大值为0，由二次不等式的解法，即可得到t的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x≤1}\\{2x-3，1＜x＜2}\\{1，x≥2}\end{array}\right.$，
不等式f（x）＞2x即为$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{-1＞2x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{2x-3＞2x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{1＞2x}\end{array}\right.$，
即有x＜-$\frac{1}{2}$或x∈∅或x∈∅，
即有解集为（-∞，-$\frac{1}{2}$）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＞t²-t+1成立，
即有f（x）_max＞t²-t+1，
由f（x）的解析式可得f（x）的最大值为1．
即有t²-t+1＜1，解得0＜t＜1．
则实数t的取值范围为（0，1）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，同时考查不等式的存在性问题注意转化为求函数的最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．