Question

已知：数列为：

1

1

，

2

1

，

1

2

，

3

1

，

2

2

，

1

3

，

4

1

，

3

2

，

2

3

，

1

4

…则a₂₀₁₂=

5

59

．

Answer 1

分析：将题中数列按“三角形数阵”排列，发现第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，依此类推第k行有k个数．因此，解不等式1+2+…+k≥2012，找到满足条件的最小正整数63，说明a₂₀₁₂在第63行，再根据第63行第63个数得到a₂₀₁₂是63行第59个数，最后根据已知数列的排列规律，得到a₂₀₁₂的值．

解答：解：将题中数列按“三角形数阵”排列，得

1

1

2

1

，

1

2

3

1

，

2

2

，

1

3

4

1

，

3

2

，

2

3

，

1

4

…
由此得到第k行的排列：

k

1

，

k-1

2

，

k-2

3

，…，

2

k-1

，

1

k

 （k∈Z）
假设a₂₀₁₂在第k行，则k是满足1+2+…+k≥2012的最小正整数
即

k(k+1)

2

≥2012，可得满足条件的最小正整数k=63
∴a₂₀₁₂在第63行，并且a

k(k+1)

2

=a2016=

1

63

是63行的第63个数，
因此，a₂₀₁₂是63行的倒数第5个，也是第59个数，可得a₂₀₁₂=

5

59

故答案为：

5

59

点评：本题给出一个特殊数列，要求我们发现其中规律并写出该数列的第2012项，着重考查了等差数列的通项与求和、归纳推理的一般方法等知识，属于中档题．