已知函数f(x)定义域为R.若存在常数M.使|f(x)|≤M|x|对一切实数均成立.则称f(x)为°F函数.给出下列函数:①f(x)=0,②f(x)=x2,③f(x)=sinx+cosx,④f(x)=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$,⑤f(x)是定义域在R上的奇函数.且满足对一切实数均有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|．其中是°F函数的序号为①④� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知函数f（x）定义域为R，若存在常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数均成立，则称f（x）为°F函数，给出下列函数：
①f（x）=0；
②f（x）=x²；
③f（x）=sinx+cosx；
④f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；
⑤f（x）是定义域在R上的奇函数，且满足对一切实数均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|．
其中是°F函数的序号为①④⑤．（少选或多选一律不给分）

分析由存在常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数均成立，只要找到M即可判断出正误．

解答解：由题意对于①f（x）=0，显然对任意常数m＞0，均成立，故f（x）为°F函数；
对于②，x→∞时，$\frac{|f（x）|}{|x|}$=|x|→+∞，因此|f（x）|＜m|x|，不成立，故其不是°F函数；
对于③，f（x）=sinx+cosx，由于x=0时，|f（x）|＜m|x|不成立，故不是°F函数；
对于④，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；|f（x）|=|x|$•\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$≤$\frac{4}{3}$|x|，故对任意的m＞$\frac{4}{3}$，都有|f（x）|＜m|x|，故其是°F函数；
对于⑤f（x）是定义域在R上的奇函数，因此f（x）具有单调性，或f（x）≡0，因此满足对一切实数均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|．
综上可得：①④⑤正确．
故答案为：①④⑤．

点评本题考查了新定义、函数的性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．