Question

6．已知函数f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²，且关于x的方程f（x）+a=0有三个不等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪（0，$\sqrt{2}$）
• B． （-$\sqrt{2}$，0）∪（$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）
• D． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）+a=x³-$\frac{3}{2}$ax²+a，把方程f（x）+a=0有三个不等的实数根转化为函数g（x）的极大值大于0且极小值小于0，联立不等式组求得实数a的取值范围．

解答 解：令g（x）=f（x）+a=x³-$\frac{3}{2}$ax²+a，
得g′（x）=3x²-3ax=3x（x-a），
当a=0时，g′（x）≥0，函数g（x）为增函数，不合题意；
当a＜0时，x∈（-∞，a），（0，+∞）时，g′（x）＞0；x∈（a，0）时，g′（x）＜0．
∴x∈（-∞，a），（0，+∞）时，g（x）单调递增；x∈（a，0）时，g（x）单调递减，
∴x=a时函数有极大值为g（a）=${a}^{3}-\frac{3}{2}{a}^{3}+a$，x=0时函数有极小值为g（0）=a．
由$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}-\frac{3}{2}{a}^{3}+a＞0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，解得a$＜-\sqrt{2}$；
当a＞0时，x∈（-∞，0），（a，+∞）时，g′（x）＞0；x∈（0，a）时，g′（x）＜0．
∴x∈（-∞，0），（a，+∞）时，g（x）单调递增；x∈（0，a）时，g（x）单调递减，
∴x=0时函数有极大值为g（0）=a，x=a时函数有极小值为g（a）=${a}^{3}-\frac{3}{2}{a}^{3}+a$．
由$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a}^{3}-\frac{3}{2}{a}^{3}+a＜0}\end{array}\right.$，解得a$＞\sqrt{2}$．
综上，实数a的取值范围是（-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查根的存在性及根的公式判断，考查利用导数求函数的极值，极值的正负是解决此问题的关键．是中档题．