Question

18．数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+1=$\frac{1}{4-4{a}_{n}}$，若不等式$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$＜n+λ对任何正整数n恒成立，则实数λ的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{8}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{7}{8}$
• D． $\frac{7}{4}$

Answer 1

分析 通过计算出数列{a_n}的前几项可知a_n=$\frac{n}{2（n+1）}$，进而变形可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并项相加、放缩即得结论．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+1=$\frac{1}{4-4{a}_{n}}$，
∴a₂=$\frac{1}{4-4•\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{6}$，
a₃=$\frac{1}{4-4•\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{8}$，
a₄=$\frac{1}{4-4•\frac{3}{8}}$=$\frac{2}{5}$=$\frac{4}{10}$，
a₅=$\frac{1}{4-4•\frac{2}{5}}$=$\frac{5}{12}$，
a₆=$\frac{1}{4-4•\frac{5}{12}}$=$\frac{3}{7}$=$\frac{6}{14}$，
…
由此可知：a_n=$\frac{n}{2（n+1）}$，
∵$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{n+1}{2（n+2）}}{\frac{n}{2（n+1）}}$=$\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$=1+$\frac{1}{n（n+2）}$=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=n+1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$）
=n+1+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$）
=n+$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$），
又∵不等式$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$＜n+λ对任何正整数n恒成立，
∴实数λ的最小值为$\frac{7}{4}$，
故选：D．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．