Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3

3

，BC=3，沿对角线BD把△BCD折起，使点C移到点P且点P在面ABD内的射影O恰好落在AB上．
（1）求证：AP⊥BP；
（2）求二面角P-BD-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由BC⊥CD，AB⊥AD，得折起后，BP⊥DP，由已知得PO⊥平面ABD，从而AD⊥PO，由此AD⊥平面PAB，
从而PB⊥AD，进而BP⊥平面PAD，由此能证明AP⊥BP．
（2）以O为原点，OA为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面PBD的法向量和平面ABD的法向量，由此利用向量法能求出二面角P-BD-A的余弦值．

解答： （1）证明：∵在矩形ABCD中，BC⊥CD，AB⊥AD，
∴折起后，BP⊥DP，
∵沿对角线BD把△BCD折起，使点C移到点P，
且点P在面ABD内的射影O恰好落在AB上，
∴PO⊥平面ABD，又AD?平面ABD，∴AD⊥PO，
又AB∩PO=O，∴AD⊥平面PAB，
又PB?平面PAB，∴PB⊥AD，
∵AD∩DP=D，∴BP⊥平面PAD，
又AP?平面PAD，∴AP⊥BP．
（2）解：以O为原点，OA为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵在矩形ABCD中，AB=3

3

，BC=3，
∴BP=AD=3，PD=3

3

，∴PA=

PD2-AD2

=3

2

，
∴PO=

BP•PA

AB

=

6

，BO=

BP2-PO2

=

3

，AO=2

3

，
∴P（0，0，

6

），B（0，-

3

，0），D（3，2

3

，0），

PB

=（0，-

3

，-

6

），

PD

=（3，2

3

，-

6

），
设平面PBD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • PB =- 3 y- 6 z=0 n • PD =3x+2 3 y- 6 z=0

，取y=

2

，得

n

=（-

6

，

2

，-1），
又平面ABD的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角P-BD-A的平面角为θ，
cosθ=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

6+2+1

=

1

3

，
∴二面角P-BD-A的余弦值为

1

3

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线线垂直、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．