Question

5．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点．
（1）求△OAB内切圆C的普通方程，并化为参数方程及极坐标方程；
（2）设P是圆C上任一点，求|PO|²+|PA|²+|PB|²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把参数方程化为普通方程，求得A、B的坐标，求得△OAB内切圆C的普通方程，再把它化为极坐标方程．
（2）设P（x，y）是圆C上任一点，则利用参数方程化简|PO|²+|PA|²+|PB|² 为 20-2sinθ，再利用正弦函数的值域求得它的范围．

解答 解：（1）把直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），化为参数方程为4x+3y-12=0，
它与x，y轴的正半轴分别交于A（3，0），B（0，4）两点，a＞0．
设△OAB内切圆C的圆心为C（a，a），由a=$\frac{|4a+3a-12|}{\sqrt{16+9}}$，求得a=6（舍去），或 a=1，
故△OAB内切圆C的普通方程为（x-1）²+（y-1）²=1，化为参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$ （θ为参数）；
化为极坐标方程为（ρcosθ-1）²+（ρsinθ-1）²=1．
（2）设P（x，y）是圆C上任一点，
则|PO|²+|PA|²+|PB|² =x²+y²+（x-3）²+y²+x²+（y-4）²=3x²+3y²-6x-8y+25
=3（1+cosθ）²+3（1+sinθ）²-6（1+cosθ）-8（1+sinθ）+25=20-2sinθ，
由于sinθ∈[-1，1]，∴20-2sinθ∈[18，22]，即|PO|²+|PA|²+|PB|²的取值范围为[18，22]．

点评 本题主要考查普通方程、参数方程、极坐标方程间的互化，正弦函数的值域，属于基础题．