Question

20．函数y=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}}$的值域为[$\frac{3}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 先求出函数的定义域，再求导，根据导数和函数的最值的关系求出最值即可得到函数的值域．

解答 解：y=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}}$=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
∴y′=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$=$\frac{x-2}{{x}^{3}}$，
当y′＞0时，解得x＜0或x＞2，函数单调递增，
当y′＜0时，解得0＜x＜2，函数单调递减，
当x=2时，函数有最小值，最小值为y=1+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，无最大值，
故值域为[$\frac{3}{4}$，+∞），
故答案为：[$\frac{3}{4}$，+∞）

点评 本题考查了函数的值域的求法，采用导数和函数的最值的关系即可求出，属于中档题．