Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M．问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点？
（3）设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆的离心率和经过点P建立关于a，b的方程组，解之即可求出椭圆的标准方程；
（2）设M（x，y），则+=1，求出圆M的方程，令x=0，化简得到关于y的方程，然后利用判别式△＞0，可求出x的范围．
（3）设D（0，y₁），E（0，y₂），其中y₁＜y₂．由（2），得DE=y₂-y₁转化成关于x的二次函数求最值进行求解即可．
解答：解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P（1，），
∴，即，解得，
∴椭圆C的方程为+=1．
（2）易求得F（1，0）．设M（x，y），则+=1，-2＜x＜2
圆M的方程为（x-x）²+（y-y）²=（1-x）²+y²，
令x=0，化简得y²-2yy+2x-1=0，△=4y²-4（2x-1）＞0①．
将y²=3（1-）代入①，得3x²+8x-16＜0，解出-4＜x＜．
∴-2＜x＜．
（3）设D（0，y₁），E（0，y₂），其中y₁＜y₂．由（2），得
DE=y₂-y₁===，
当x=-时，DE的最大值为．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系和线段的最值问题，是一道综合题，有一定的难度．