Question

2．已知抛物线C：y²=4x，过焦点F作与x轴垂直的直线l₁，C上任意一点P（x₀，y₀）（y₀≠0）处的切线为l，l与l₁交于M，l与准线交于N，则$\frac{MF}{NF}$=1．

Answer 1

分析 由抛物线方程，求导，利用导数的几何意义，求得P点的切线方程的斜率，求得切线方程，当x=-1时，求得N点坐标，由$\overrightarrow{PF}$=（1-x₀，-y₀），$\overrightarrow{FN}$=（-2，$\frac{2（{x}_{0}-1）}{{y}_{0}}$），则$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{FN}$=0，$\overrightarrow{PF}$⊥$\overrightarrow{FN}$，由丨PQ丨=丨QF丨，则△NPQ≌△NPF，即可求得∠PNQ=∠PNF，即可求得∠PNF=∠NMF，即可求得MF=NF，则$\frac{MF}{NF}$=1，

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），准线为l：x=-1，
抛物线y²=4x两边对x求导，可得2yy′=4，即y′=$\frac{2}{y}$，
过P（x₀，y₀）（y₀≠0）的切线为l的斜率为$\frac{2}{{y}_{0}}$，切线的方程为y-y₀=$\frac{2}{{y}_{0}}$（x-x₀），
又y₀²=4x₀，即有y₀y=2（x+x₀），
令x=-1，可得N（-1，$\frac{2（{x}_{0}-1）}{{y}_{0}}$），
∴$\overrightarrow{PF}$=（1-x₀，-y₀），$\overrightarrow{FN}$=（-2，$\frac{2（{x}_{0}-1）}{{y}_{0}}$），
∴$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{FN}$=-2（1-x₀）-y₀•$\frac{2（{x}_{0}-1）}{{y}_{0}}$=0，
∴$\overrightarrow{PF}$⊥$\overrightarrow{FN}$，
过P做PQ垂直于x=-1，交x=-1于Q，
由椭圆的定义可知：丨PQ丨=丨QF丨，
∴△NPQ≌△NPF，
∴∠PNQ=∠PNF，
∵∠PNQ=∠NMF，
∴∠PNF=∠NMF，
∴MF=NF，
$\frac{MF}{NF}$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查导数的几何意义，向量数量积的坐标表示，直线垂直的充要条件，抛物线的性质及相似三角形的性质的综合利用，考查数形结合思想，属于中档题．