Question

7．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅=5，S₅=15，则数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前2016项和为（　　）

• A． $\frac{2016}{2017}$
• B． $\frac{2017}{2016}$
• C． $\frac{2015}{2017}$
• D． $\frac{2015}{2016}$

Answer 1

分析 由题意可知：S₅=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$=15，求得a₁=1，则a₅=a₁+4d=5，即可求得d=1，根据等差数列前n项和公式即可求得a_n=n，则$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用“裂项法”即可求得数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前2016项和．

解答 解：设等差数列{a_n}公差为d，
∵a₅=5，S₅=15，
由S₅=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$=15，解得：a₁=1，
a₅=a₁+4d=5，则d=1，
等差数列{a_n}首项为1，公差为1，
a_n=a₁+（n-1）d=n，
$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前2016项和S₂₀₁₆，S₂₀₁₆=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$），
=1-$\frac{1}{2017}$，
=$\frac{2016}{2017}$，
故选A．

点评 本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．