Question

17．已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）不等式f（x）+2m-1≥0对于任意的x∈R都成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过对x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，化为分段函数，即可求得函数f（x）的值域；
（Ⅱ）不等式f（x）+2m-1≥0对于任意的x∈R都成立?1-2m≤f（x）_min=-3，解之即可求得m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-2|-|x-5|=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x≤2}\\{2x-7，2＜x＜5}\\{3，x≥5}\end{array}\right.$，
∴函数f（x）的值域为[-3，3]；
（Ⅱ）∵不等式f（x）+2m-1≥0对于任意的x∈R都成立，
∴1-2m≤f（x）_min=-3，
∴m≥2．
即m的取值范围为[2，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，着重考查绝对值不等式的应用，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．