Question

14．已知g（x）=（ax-$\frac{b}{x}$-2a）e^x（a＞0），若存在x₀∈（1，+∞），使得g（x₀）+g'（x₀）=0，则$\frac{b}{a}$的取值范围是（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-1，0）
• C． （-2，+∞）
• D． （-2，0）

Answer 1

分析 求出g（x）的导数，问题等价于存在x＞1，2ax³-3ax²-2bx+b=0成立，求出$\frac{b}{a}$=$\frac{{2x}^{3}-{3x}^{2}}{2x-1}$，设u（x）=$\frac{{2x}^{3}-{3x}^{2}}{2x-1}$（x＞1），根据函数的单调性求出$\frac{b}{a}$的范围即可．

解答 解：∵g（x）=（ax-$\frac{b}{x}$-2a）e^x，
∴g′（x）=（$\frac{b}{{x}^{2}}$+ax-$\frac{b}{x}$-a）e^x，
∴由g（x）+g′（x）=0，整理得2ax³-3ax²-2bx+b=0．
存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，
等价于存在x＞1，2ax³-3ax²-2bx+b=0成立，
∵a＞0，∴$\frac{b}{a}$=$\frac{{2x}^{3}-{3x}^{2}}{2x-1}$，
设u（x）=$\frac{{2x}^{3}-{3x}^{2}}{2x-1}$（x＞1），
则u′（x）=$\frac{8x{[（x-\frac{3}{4}）}^{2}+\frac{3}{16}]}{{（2x-1）}^{2}}$，
∵x＞1，∴u′（x）＞0恒成立，
∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴u（x）＞u（1）=-1，
∴$\frac{b}{a}$＞-1，即$\frac{b}{a}$的取值范围为（-1，+∞），
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．