Question

10．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AA₁=AB=2，AB⊥BC，BC=3．
（1）在棱AC上求一点M，使得AB₁∥平面BC₁M，说明理由；
（2）若D为AC的中点，求四棱锥B-AA₁C₁D的体积．

Answer 1

分析 （1）以B₁为原点，B₁C₁为x轴，B₁B为y轴，B₁A₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法得到棱AC上存在一点M（$\frac{3}{2}，0，1$），使得AB₁∥平面BC₁M．
（2）四棱锥B-AA₁C₁D的体积V=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-${V}_{{C}_{1}-BCD}$-${V}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$．

解答 解：（1）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AA₁=AB=2，AB⊥BC，BC=3，
∴以B₁为原点，B₁C₁为x轴，B₁B为y轴，B₁A₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，2，2），B₁（0，0，0），B（0，2，0），C₁（3，0，0），C（3，2，0），
设M（a，b，c），$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AC}$．（0≤λ≤1），
∴（a，b-2，c-2）=λ（3，0，-2），∴$\left\{\begin{array}{l}{a=3λ}\\{b-2=0}\\{c-2=-2λ}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=3λ}\\{b=2}\\{c=2-2λ}\end{array}\right.$，∴M（3λ，0，2-2λ），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，-2，-2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（3，-2，0），$\overrightarrow{BM}$=（3λ，-2，2-2λ），
设平面BC₁M的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{BC}_{1}}=3x-2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=3λx+（2-2λ）z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，3，$\frac{3λ}{λ-1}$），
∵AB₁∥平面BC₁M，
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}$=0-6-2×$\frac{3λ}{λ-1}$=0，解得$λ=\frac{1}{2}$．
∴M（$\frac{3}{2}，0，1$），
∴棱AC上存在一点M（$\frac{3}{2}，0，1$），使得AB₁∥平面BC₁M．
（2）∵D为AC的中点，
∴四棱锥B-AA₁C₁D的体积：
V=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$-${V}_{{C}_{1}-BCD}$-${V}_{B-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$
=$\frac{1}{2}×2×3×2$-$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}×2×3×1$-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×3×2$
=3．

点评 本题考查满足线面垂直的点的位置的确定，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．