在直角坐标系xOy中.圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}}\right.$.以坐标系的原点O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为:sinθ-2cosθ=0.直线l与圆C相交于A.B两点.且|OA|＜|OB|．(1)求圆C的普通方程和直线l的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），以坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：sinθ-2cosθ=0，直线l与圆C相交于A，B两点，且|OA|＜|OB|．
（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求$\frac{{|{OA}|}}{{|{AB}|}}$的值．

分析（1）利用cos²θ+sin²θ=1可把圆C的参数方程化为普通方程；利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，即可把直线l极坐标方程化为直角坐标方程．
（2）过圆心C作CD⊥AB，垂足为D．可得点D到直线l的距离d，|OD|=$\sqrt{O{C}^{2}-{d}^{2}}$，|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，于是|OA|=|OD|-$\frac{1}{2}$|AB|，即可得出．

解答解：（1）圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1可得：（x-2）²+（y-2）²=1，圆心C（2，2），半径r=1．
直线l的极坐标方程为：sinθ-2cosθ=0，即ρsinθ-2ρcosθ=0，可得直线l的直角坐标方程：y=2x．
（2）过圆心C作CD⊥AB，垂足为D．
点D到直线l的距离d=$\frac{|2×2-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
则|OD|=$\sqrt{O{C}^{2}-{d}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}-\frac{4}{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴|OA|=|OD|-$\frac{1}{2}$|AB|=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{5}$．
∴$\frac{{|{OA}|}}{{|{AB}|}}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{5}{2}$．

点评本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程的方法、圆的参数方程、垂经定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．