Question

19．若非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足|${\overrightarrow a}$|=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$|${\overrightarrow b}$|，且（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）⊥（3$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$），则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． π
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，利用两个向量的数量积的定义，数两个向量垂直的性质，求得cosθ的值，可得θ的值．

解答 解：设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，∵（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）⊥（3$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$），|${\overrightarrow a}$|=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$|${\overrightarrow b}$|，
∴（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）•（3$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）=3${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$=3•$\frac{8}{9}$${|\overrightarrow{b}|}^{2}$-$\frac{2\sqrt{2}}{3}|\overrightarrow{b}|$•|$\overrightarrow{b}$|cosθ-2${|\overrightarrow{b}|}^{2}$=0，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴θ=$\frac{π}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，数两个向量垂直的性质，属于基础题．