Question

17．已知棱长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、M分别为线段BD₁、B₁C₁上的点，若$\frac{BP}{P{D}_{1}}$=2，则三棱锥M-PBC的体积为24．

Answer 1

分析 利用直线与平面平行，转化所求几何体的体积为同底面高相等的棱锥的体积，即可求出三棱锥M-PBC的体积．

解答 解：∵棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
P、M分别为线段BD₁，B₁C₁上的点，BP=2PD₁，
∵几何体是正方体，∴B₁M∥BC，
∴M到面PBC的距离与B₁到面PBC的距离相等，
三棱锥M-PBC的体积转化为三棱锥P-B₁BC的体积，
正方体的棱长为6，
BP=2PD₁，P到平面B₁BC的距离为4，
∴V_M-PBC=${V}_{P-B{B}_{1}C}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×6×4=24．
故答案为：24．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题，考查转化思想的应用．