Question

20．数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂=4，且S_n=a_n+1-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式：
（Ⅱ）若c_n=-20+log₂a_4n，求{c_n}的前n项和T_n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知数列递推式结合a₂=4求得数列首项，得到S_n-1=a_n-2（n≥2），作差后可得数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，则通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入c_n=-20+log₂a_4n，分组求和后利用二次函数的最值得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=a_n+1-2，
∴S_n-1=a_n-2（n≥2），
则a_n+1=2a_n（n≥2），
又a₂=4，
∴a₁=S₁=a₂-2=2，即a₂=2a₁．
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
则${a}_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）c_n=-20+log₂a_4n =$-20+lo{g}_{2}{2}^{4n}=4n-20$．
∴T_n =$4×（1+2+…+n）-20n=4×\frac{n（n+1）}{2}-20n$=2n²-18n．
∴当n=4或5时，{c_n}的前n项和T_n的最小值．
此时T₄=T₅=-40．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，考查二次函数求最值，是中档题．