Question

11．已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，且$（0，2\sqrt{2}）$是其中一个焦点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过点P（-1，0）的动直线l与中心在原点，半径为2的圆O交于A，B两点，C是椭圆上一点，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$=0，当|$\overrightarrow{CP}$|取得最大值时，求弦AB的长度．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，c=2$\sqrt{2}$，b²=a²-c²，解出即可得出．
（2）设C（cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]）．可得|CP|=$\sqrt{（cosθ+1）^{2}+9si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{-8（cosθ-\frac{1}{8}）^{2}+\frac{81}{8}}$，利用二次函数的单调性可得最大值，由于对称性可取C$（\frac{1}{8}，\frac{9\sqrt{7}}{8}）$．求出k_CP，利用$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$=0，可得k_AB=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．可得直线AB的方程．圆的方程为：x²+y²=4．求出圆心（0，0）到直线AB的距离d，可得|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，c=2$\sqrt{2}$，b²=a²-c²，
解得：c=2$\sqrt{2}$，a=3，b=1．
∴该椭圆的标准方程是：$\frac{{y}^{2}}{9}$+x²=1．
（2）设C（cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]）．
则|CP|=$\sqrt{（cosθ+1）^{2}+9si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{-8（cosθ-\frac{1}{8}）^{2}+\frac{81}{8}}$≤$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，当且仅当cos$θ=\frac{1}{8}$，sinθ=±$\frac{3\sqrt{7}}{8}$时取等号．
由于对称性可取C$（\frac{1}{8}，\frac{9\sqrt{7}}{8}）$．
k_CP=$\frac{\frac{9\sqrt{7}}{8}-0}{\frac{1}{8}+1}$=$\sqrt{7}$，
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$=0，
∴k_AB=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴直线AB的方程为：y=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$（x+1），即$x+\sqrt{7}$y+1=0．
圆的方程为：x²+y²=4．
∴圆心（0，0）到直线AB的距离d=$\frac{1}{\sqrt{8}}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{1}{\sqrt{8}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{62}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．