Question

如图：已知椭圆A，B，C是长轴长为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心O，且

AC

•

BC

=0，|

BC

|=2|

AC

|．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）如果椭圆上两点P，Q使得直线CP，CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数λ使

PQ

=λ

AB

？请给出证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程，根据长轴求得a，点A是长轴的一个顶点可求得A的坐标．根据

AC

•

BC

=0 ， |

BC

|=2|

AC

|判断△AOC是等腰直角三角形，进而求得C的坐标代入椭圆的方程求得b，最后可得椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线PC的方程与椭圆方程联立，消元后根据△＞0判断k的范围．设点P（x₁，y₁）由韦达定理可求得x₁和y₁关于k的表达式，直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形推断直线CP、CQ的斜率互为相反数，进而得到k的范围，同样的设点Q（x₂，y₂），根据韦达定理求得x₂和y₂关于k的表达式，根据椭圆是中心对称图形求得点B的坐标，根据

PQ

和

AB

关系得证．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵椭圆的长轴长为4，
∴a=2，
∵点A是长轴的一个顶点，
∴A（2，0），
∵

AC

•

BC

=0，|

BC

|=2|

AC

|．
∴△AOC是等腰直角三角形，从而C（1，1），
代入椭圆方程得

1

4

+

1

b2

=1?b2=

4

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

3y2

4

=1．

（Ⅱ）设直线l_PC：y=kx+1-k（k≠0）
与椭圆方程

x2

4

+

3y2

4

=1联立得到（3k²+1）x²+6k（1-k）x+3（1-k）²-4=0
则△=[6k（1-k）]²-4（3k²+1）[3（k-1）²-4]=4（3k+1）²＞0从而k≠-

1

3

且k≠0
设点P（x₁，y₁），而C（1，1），由韦达定理知1+x1=

6k(k-1)

3k2+1

?x1=

3k2-6k-1

3k2+1

代回l_PC：y=kx+1-k得到y1=

-3k2-2k+1

3k2+1

∵直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形
∴直线CP、CQ的斜率互为相反数，即k≠-

1

3

， k≠

1

3

且k≠0
故设点Q（x₂，y₂），同理可知x2=

3k2+6k-1

3k2+1

，y2=

-3k2+2k+1

3k2+1

所以

PQ

=(

12k

3k2+1

，

4k

3k2+1

)
∵椭圆是中心对称图形
∴B（-1，-1），

AB

=(-3，-1)
故

PQ

=-

4k

3k2+1

AB

，即总存在实数λ使

PQ

=λ

AB

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和平面向量的知识．能考查学生综合运用所学知识的能力．