Question

已知f（x）=|2x-

3

4

|+|2x+

5

4

|，设m，n∈R⁺，且m+n=1．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤

5

2

的解集；
（Ⅱ）求证：

2m+1

+

2n+1

≤2

f(x)

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）运用零点分区间的方法讨论：当x≥

3

8

时，当x≤-

5

8

时，当-

5

8

＜x＜

3

8

，去绝对值，解不等式，最后求并集即可；
（Ⅱ）利用分析法结合基本不等式即可证得结论．

解答： （Ⅰ）解：不等式f（x）≤

5

2

即为|x-

3

8

|+|x+

5

8

|≤

5

4

，
当x≥

3

8

时，不等式即为x-

3

8

+x+

5

8

≤

5

4

，解得x≤

1

2

，则有

3

8

≤x≤

1

2

；
当x≤-

5

8

时，不等式即为

3

8

-x-x-

5

8

≤

5

4

，解得x≥-

3

4

，则有-

3

4

≤x≤-

5

8

；
当-

5

8

＜x＜

3

8

，不等式即为

3

8

-x+x+

5

8

≤

5

4

，即1≤

5

4

，则有-

5

8

＜x＜

3

8

．
则原不等式的解集为[-

3

4

，

1

2

]；
（Ⅱ）证明：∵依据绝对值的几何意义可知，
函数f（x）=|2x-

3

4

|+|2x+

5

4

|表示数轴上点P（2x）到点A（

3

4

）和B（-

5

4

）两点的距离，
其最小值为f（x）_min=2，
∴只需证明：

2m+1

+

2n+1

≤2

2

成立，
∵

2(2m+1)

≤

2+2m+1

2

=m+

3

2

；

2(2n+1)

≤

2+2n+1

2

=n+

3

2

．
于是

2

（

2m+1

+

2n+1

）≤m+n+3=4，
∴

2m+1

+

2n+1

≤2

2

成立，
故要证明的不等式成立．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义与基本不等式的应用，考查分析、运算与论证能力，属于中档题．