Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE=EF=1．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意及椭圆的离心率公式，即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；
（2）将直线AB和CD方程代入椭圆方程，分别求得A，B和C，D点的横坐标，根据直线的斜率公式，即可证明直线AC，BD的斜率之和．

解答 解：（1）由题意，得c=1，椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$，
b²=a²-c²=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；                            5分
（2）证明：设直线AB的方程为y=kx，
直线CD的方程为y=-k（x-1），③7分
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，点A，B的横坐标为x=±$\sqrt{\frac{2}{2{k}^{2}+1}}$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，点C，D的横坐标为x=$\frac{2{k}^{2}±\sqrt{2（{k}^{2}+1）}}{2{k}^{2}+1}$，9分
记A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂），C（x₃，k（1-x₃）），D（x₄，k（1-x₄）），
则直线AC，BD的斜率之和为$\frac{k{x}_{1}-k（1-{x}_{3}）}{{x}_{1}-{x}_{3}}$+$\frac{k{x}_{2}-k（1-{x}_{4}）}{{x}_{2}-{x}_{4}}$，
=k•$\frac{（{x}_{1}+{x}_{3}-1）（{x}_{2}-{x}_{4}）+（{x}_{1}-{x}_{4}）（{x}_{2}+{x}_{4}-1）}{（{x}_{1}-{x}_{3}）（{x}_{2}-{x}_{4}）}$，
=k•$\frac{2（{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{3}{x}_{4}）-（{x}_{1}+{x}_{2}）+（{x}_{3}+{x}_{4}）}{（{x}_{1}-{x}_{3}）（{x}_{2}-{x}_{4}）}$，
=k•$\frac{2（\frac{-2}{2{k}^{2}+1}-\frac{2（{k}^{2}-1）}{2{k}^{2}+1}）-0+\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}}{（{x}_{1}-{x}_{3}）（{x}_{2}-{x}_{4}）}$=0，
直线AC，BD的斜率之和为定值0．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．