Question

4．（1）设函数f（x）=e^x（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x₀，使得f（x₀）＜0，则a的取值范围是[$\frac{3}{2e}$，1）．
（2）已知f（x）=xe^x，g（x）=-（x+1）²+a，若?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，则实数a的取值范围$[-\frac{1}{e}，+∞）$．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=e^x（2x-1）-ax+a，其中a＜1，设g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，由存在唯一的整数x₀，使得f（x₀）＜0；可得存在唯一的整数x₀，使得g（x₀）在直线y=ax-a的下方．利用导数研究其单调性图象与性质，即可得出．
（2）?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，等价于f（x）_min≤g（x）_max，利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值，利用二次函数的单调性可得g（x）的最大值，即可得出．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x（2x-1）-ax+a，其中a＜1，
设g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，
∵存在唯一的整数x₀，使得f（x₀）＜0，
∴存在唯一的整数x₀，使得g（x₀）在直线y=ax-a的
下方，
∵g′（x）=e^x（2x+1），
∴当x＜-$\frac{1}{2}$时，g′（x）＜0，
∴当x=-$\frac{1}{2}$时，[g（x）]_min=g（-$\frac{1}{2}$）=-2${e}^{-\frac{1}{2}}$．
当x=0时，g（0）=-1，g（1）=e＞0，
直线y=ax-a恒过（1，0），斜率为a，故-a＞g（0）=-1，
且g（-1）=-3e^-1≥-a-a，解得a＞$\frac{3}{2e}$．
∴a的取值范围是$[\frac{3}{2e}，1）$．
（2）?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，等价于f（x）_min≤g（x）_max，
∵f（x）=-xe^x，
∴f′（x）=（1+x）e^x，
当x＜-1时，f′（x）＜0；x＞-1时，f′（x）＞0．
∴x=-1时，f（x）_min=$-\frac{1}{e}$．
∵g（x）=（x+1）²+a，
∴g（x）_max=a．
∴-$\frac{1}{e}$≤a，
∴实数m的取值范围是$[-\frac{1}{e}，+∞）$．
故答案分别为：（1）$[\frac{3}{2e}，1）$；（2）$[-\frac{1}{e}，+∞）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、二次函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．