Question

19．已知函数f（x）=lnx-a（x-1）
（1）若函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当n∈N^*时，证明：（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{3}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜e（其中（e≈2.718…即自然对数的底数）

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性与导数之间的关系，可得f′（x）=$\frac{1}{x}$-a≤0在区间（1，+∞）上恒成立，结合x＞1加以讨论可得实数a的取值范围为[1，+∞）；
（2）由（1）知：当a=1时f（x）在（1，+∞）上单调递减，可得lnx＜x-1在（1，+∞）上成立，由此令x=1+$\frac{1}{2n}$得ln（1+$\frac{1}{2n}$）＜$\frac{1}{2n}$，分别取n=1，2，3，…，n将得到的式子相加，再结合对数的运算法则即可证出．

解答 解：（1）∵函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a≤0在区间（1，+∞）上恒成立．（7分）
∵x＞1，可得0＜$\frac{1}{x}$＜1，
∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，+∞）…（9分）
（2）证明：由（1）得当a=1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）=lnx-（x-1）＜f（1）=0，可得 lnx＜x-1，（x＞1），
令x=1+$\frac{1}{2n}$，可得ln（1+$\frac{1}{2n}$）＜$\frac{1}{2n}$
分别取n=1，2，3，…，n得
ln（1+$\frac{1}{2}$）+ln（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）+ln（1+$\frac{1}{{2}^{3}}$）+…+ln（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1，
即ln[（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{3}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）]＜lne，
可得（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+）（1+$\frac{1}{{2}^{3}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜e，对任意的n∈N^*成立．

点评 本题求函数的单调区间与极值，并依此证明不等式恒成立．着重考查了利用导数研究函数的单调性、求函数的极值和不等式恒成立的证明等知识，属于中档题．