题目内容
3．已知：如图（1），抛物线y=ax2+bx+c经过点A（4，2），顶点为T（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{8}$）．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）如图（2），点A关于直线x=-$\frac{b}{2a}$的对称点为点B，连接OA、OB、OT、BT．
①求△OBT的面积；
②试探索OA与OB之间的数量关系与位置关系．
（3）如图（3），P为直线x=-$\frac{b}{2a}$上的一动点，Q为x轴上一动点，试判断是否存在这样的点P和点Q，使得以B、0、P、Q为顶点的四边形是平行四边形（B点为（2）中的点）．若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}16a+4b+c=2\\-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}\\ \frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=-\frac{9}{8}\end{array}\right.$，解得a，b，c的值，可得函数解析式；
（2）①求出直线BT与y轴交点的坐标，利用割补法，可得△OBT的面积；
②利用两点之间距离公式，求出OA，OB，OC可得OA与OB之间的数量关系，再由勾股定理可得OA与OB之间的位置关系；
（3）令BP∥x轴，可得满足条件的P，Q点的坐标．
解答 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（4，2），顶点为T（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{8}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}16a+4b+c=2\\-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}\\ \frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=-\frac{9}{8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=-\frac{3}{2}\\ c=0\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x；
（2）①点A关于直线x=$\frac{3}{2}$的对称点为点B（-1，2），
设直线BT的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}-k+b=2\\ \frac{3}{2}k+b=-\frac{9}{8}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{5}{4}\\ b=\frac{3}{4}\end{array}\right.$
∴直线BT的解析式为y=-$\frac{5}{4}$x+$\frac{3}{4}$．
设直线BT与y轴交点为M（0，$\frac{3}{4}$），
则△OBT的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×（$\frac{3}{2}$+1）=$\frac{15}{16}$；
②由两点之间距离公式可得：
OA=2$\sqrt{5}$，OB=$\sqrt{5}$，AB=5，
∴OA=2OB；
且AB2=OA2+OB2，即OA⊥OB；
（3）当P（$\frac{3}{2}$，2），Q（±$\frac{5}{2}$，0）时，
或当P（$\frac{3}{2}$，-2），Q（$\frac{1}{2}$，0）时，以B、0、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．
点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
备战中考寒假系列答案| A． | f（x）=3x+4×3-x | B． | f（x）=lgx+logx10 | C． | $f（x）=x+\frac{4}{x}$ | D． | $f（x）=cosx+\frac{4}{cosx}$ |