题目内容

A、B是抛物线y=2x²上的两点，直线l是线段AB的垂直平分线，当直线l的斜率为 $数学公式$ 时，则直线l在y轴上截距的取值范围是________．

$\text{[math]}$
分析：设直线l的方程为 y= $\text{[math]}$ x+b，设AB的方程为y=-2x+c，c＞0，把把AB的方程代入抛物线y=2x²化简可得
2x²+2x-c=0，利用根与系数的关系及中点公式求得线段AB的中点M的坐标，把M的坐标代入直线l的方程可得c=b- $\text{[math]}$ ＞0，解得b的范围．
解答：设直线l的方程为 y= $\text{[math]}$ x+b，则AB的斜率为-2，设AB的方程为y=-2x+c，c＞0，
把AB的方程 y=-2x+c代入抛物线y=2x²化简可得 2x²+2x-c=0，∴x₁+x₂=-1，
故线段AB的中点 M（- $\text{[math]}$ ，1+c ），由题意知，点 M（- $\text{[math]}$ ，1+c ）在直线l上，
∴1+c= $\text{[math]}$ （- $\text{[math]}$ ）+b，∴c=b- $\text{[math]}$ ＞0，∴b＞ $\text{[math]}$ ，
故直线l在y轴上截距的取值范围是 $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，线段的中垂线的性质，得到 c=b- $\text{[math]}$ ＞0，是解题的关键．

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（2）设A、B是抛物线C上两动点，过点M（1，2）的直线MA，MB与y轴交于点P、Q．△MPQ是以MP、MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．

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