Question

已知、是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足；

   （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

   （Ⅱ）过椭圆的右焦点作直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于M点，若

，求的值.

Answer 1

解：（I）  点是线段的中点 是的中位线，又， 

                                                    

       椭圆的标准方程为

   （II）方法一，设点的坐标分别为，又易知点的坐标为（2，0）.

        

      

       去分母整理

       同理由可得：

        是方程的两个根

        

       方法二：设点的坐标分别为.

       又易知点的坐标为（2，0）.

       显然直线存在斜率，设直线的斜率为，则直线的方程是.

       将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得

又，将各点坐标代入得：